Родился 17 октября в Люберцах Московской области. Во время войны остался сиротой (мать умерла от туберкулеза, отец был на фронте), воспитывался в детском доме, учился в ремесленном училище, работал с 12 лет. В 14 лет сбежал из детдома (в те годы под Москвой было более 200 детских домов, «сражавшихся» между собой), работал в Серноводске на консервном заводе.
Много читал, черпая в книгах надежду. После войны стал участвовать в самодеятельности, читал со сцены стихи, играл в спектаклях и имел успех. Попробовал сам писать стихи и читать их с эстрады, затем предложил их в газету, и они были напечатаны, что его очень вдохновило.
Отслужив в армии, поступил в Литературный институт им. М. Горького. Занимался в семинаре Л. Ошанина.
В 1958 в журнале «Юность» напечатал цикл рассказов «Военное детство».
Окончив в 1959 году институт, разочаровался в своем поэтическом призвании и решил работать в прозе, хотя занимался в семинаре поэта Л. Ошанина.
Едет на Братскую ГЭС, масштабы строительства которой и безграничность Сибири произвели на него такое огромное впечатление, что он на долгие годы связывает свою судьбу и творчество с этим краем. Работает в бригаде бетонщиков на котловане будущей станции, одновременно являясь корреспондентом «Литературной газеты» на строительстве ГЭС. В эти годы пишет документальные повести «Мои современники» (1959); «Костры в тайге»(1964); «Страна Лэпия» (1960); роман «Голубка» (1967).
Вернувшись в Москву, Приставкин не оставляет «сибирскую» тему, позже написав очерки о строительстве БАМа.
В 1970-е печатает рассказ на тему войны «Солдат и мальчик».
В 1987 Приставкин опубликовал самое значительное свое произведение — повесть «Ночевала тучка золотая…», принесшую ее автору широкую известность.
В 1989 вышла повесть «Кукушата». А. Приставкин живет и работает в Москве.